| 在初中数学中蕴藏着的数形结合思想 |
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作者：佚名 文章来源：不详 点击数： 更新时间：2006-7-6 19:07:25  |
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摘要：本文揭示了在初中数学的有理数、应用题、不等式、函数及其图象、统计初步、平面几何内容中所蕴藏着的数形结合思想，以及应用数形结合思想解决相关内容中考试题的思路.
关键词：数形结合思想
数学家华罗庚说得好:“数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离”.
数学知识的教学有两条线：一条是明线，即数学知识；一条是暗线，即数学思想方法。九义初中《数学教学大纲》把数学的精髓——数学思想方法纳入了基础知识的范畴，这是加强数学素质教育的一项创举。数学思想方法既是数学的基础知识，是知识的精髓，又是将知识转化为能力的桥梁，用好了就是能力。因此我们数学老师在教学中要注重数学思想方法的渗透、概括和总结，要重视数学思想方法在解题中的指导作用。
数形结合的思想方法是初中数学中一种重要的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学，数和形是数学知识体系中两大基础概念，把刻划数量关系的数和具体直观的图形有机结合，将抽象思维与形象思维有机结合，根据研讨问题的需要，把数量关系的比较转化为图形性质或其位置关系的讨论，或把图形间的待定关系转化为相关元素的数量计算，即数与形的灵活转换、相互作用，进而探求问题的解答就是数形结合的思想方法。数形结合的思想方法能扬数之长、取形之优，使得“数量关系”与“空间形式”珠连壁合，相映生辉。
本文就初中数学教学中如何渗透与应用数形结合的思想方法谈谈个人的体会。
一、有理数内容体现的数形结合思想
数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的力量源泉。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助初一学生正确理解有理数的性质及其运算法则。
相关内容的中考试题，应用数形结合的思想可顺利得以解决。
例1．（1）实数a 、b 、c在数轴上的对应点如图1所示。化简
|a+b|- =________. (重庆)
（2）比-3℃低6℃的温度是_______. (安徽)
答案：（1） b+c (2) -9℃
二、应用题内容隐含的数形结合思想
列方程解应用题的难点是如何根据题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，九义教材《代数》第一册（上）的“4.4 一元一次方程的应用”内容中的例3（行程问题）、例4（追击问题）、例5（劳动力调配问题）、例6（工程问题）、例7（浓度问题），教学中,老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助初一学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。
相关内容的中考试题，也隐含着对数形结合思想方法的考查。
例2．一小船由A港到B港顺流需行6小时，由B港到A港逆流需行8小时。一天，小船从早晨6点由A港出发顺流行到B港时，发现一救生圈在途中掉落在水中，立刻返回，一小时后找到救生圈。
问：（1）若小船按水流速度由A港漂流到B港需要多少小时？
（2）救生圈是在何时掉入水中的。（天津）
分析 （1）答：小船按水流速度由A港漂流到B港需用48小时。
（2）如图2，设救生圈是在上午x点钟落入水中C点的。当小船由C点顺流行驶到B港时，救生圈由C点顺流漂到D点；当小船由B港用1小时逆流行驶到E点找到救圈时，救生圈同时用1小时由D点顺流漂到了E点。于是
CB= ×（12-x）,CD= ×(12-x),BE= ×1,DE= ×1
∵ DB=BD ∴ CB-CD=DE+BE
从而得到方程
×（12-x）- ×(12-x) = ×1 + ×1.
解方程，得x = 11.
∴救生圈是在上午11点钟掉入水中（C点）的。
三、不等式内容蕴藏着数形结合思想
九义《代数》第一册（下）第六章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深初一学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。
相关内容的中考试题，也着重考察学生对数形结合思想方法的应用。
例3. （1） 解不等式
≤ + 4 ,
并把它的解集在数轴上表示出来。（四川）
（2）若关于x的不等式组
无解，则m的取值范围是_______. (徐州)
答案：(1) x≥-3（如图3）.
(2) m ≥2.
提示：不等式组有解时2m-1<x<m+1(如图4),
其中 m +1> 2m–1；不等式组无解时，
m +1≤2m-1（如图5）。
∴ m ≥2 （注意不要漏掉等号）.
四、函数及其图象内容凸显了数形结合思想
由于在直角坐标系中，有序实数对(x , y)与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。
相关内容的中考试题，侧重了对数形结合思想方法的考察。
“数以形而直观，形以数而入微”我国数学家华罗庚对数学结合思想的精辟论述。数形结合的思想，是通过数形间的对应与互助来研究并解决问题的思想，是最基本的数学思想之一，应用范围较为广泛，使在初中数学中也常在研究函数的性质，求解函数的有关
数形结合思想
深圳中学史强
[知识要点]
一、数形结合 把抽象的数学语言与直观的图形结合来思索,是抽象思维和形象思维结合,通过“以形助数”或“以数解形”,可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而达到优化解题途径的目的.
二、常见函数 1、一次函数y=kx+b 2、二次函数y=ax2+bx+c
3、幂函数y= (α= )
4、指数函数与对数函数
5、函数y= (a>0,b>0)
[典型例题]
例1、(1) 关于x的方程x2- k=k在(-1,1)内有一个实根,则k的范围
是______
(2)已知0<a<1,方程 的实根个数是( B)
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
例2、设a >0，解关于x的方程
略解：
k<-4,即0<a<100时,方程无解
k=-4,即a=100时,方程有唯一解x=2
k=5, 即a= 时, 方程有唯一解x=4
k>-4且k≠5,即a>100且a≠ 时,原方程有两个不同的正数解
例3、求实数k的集合，使方程∣x2-2∣=3x+k恰有3个互异的实数解 { }
[课堂练习]
1、 方程2x=x2的根的个数（c）
A、5个 B、4个 C、3个 D、2个
2、 函数y= 的单调递增区间是（D）
A、(-∞，-2),(-1，0) B、[-2,-1],[0,+∞] C、(-,0),(1,2) D、[0,1),[2,+∞)
3、 函数y=a∣x∣和y=x+a的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（D）
A、(1，+∞) B、(-1，1) C、(-∞,-1]∪[1, +∞) D、(-∞,-1)∪(1.+∞)
4 、若不等式x2-logax<0在(0, )内恒成立,则a的取值范围(A)
A、[ ,1) B、 (1,+∞) C、( ,1) D、( ,1) ∪(1,2)
5、函数f(x)= , x∈R ,的最小值是（C）
A、4 B、5 C、6 D、7
6、不等式 有实数解，则a的取值范围（C）
A、a>7 B、1<a<7 C、a>1 D、a≥1
7、关于x的方程ax=logax的解的个数为（D）
A、0 B、1 C、0或1 D、0、1或2
8、函数y=f(x)有反函数y=f-1(x)的图象在直角坐标平面内绕原点顺时针旋转90。后得到另一个函数的图象，这另一个函数是（D）
A、y=f-1(-x) B、y=f-1(x) C、y= -f-1(-x) D、y= -f-1(x)
9、当x∈(1,2)时，(x-1)2<logax恒成立,则a 的取值范围是1<a≤2
10、关于x的方程 有四个不相等的实根，则实数m的范围1<m<5
11、函数 的最小值____
12、不等式 的解集是 {x∣ }
13、若方程lg(-x2+3x-m)=lg(3-x)在[0,3]上有唯一解,求m的取值范围
(m=1或-3≤m≤0)
14、已知函数f(x)=x2+ax+3,当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a
的取值范围 (-7≤a≤2)
15、解关于x的不等式 （a<0）
(-1<a<0时,解集(-∞,- )∪(- , )∪(1,+∞);
a≤1时, 解集(-∞,- )∪(1,+∞) )
16、函数f(x)= ,g(x)= (a>0,a≠1)关于x的方程
有两个不等实根,求实数m的取值范围
(-2<m<-1)
17、设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数,且f(x)是偶函数,在[-2,3]上, f(x)=-2(x-3)2+4
(1) 求x∈[1,2]时, f(x)的表达式
(2) 若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上,且A的坐标为(t,0)
(0≤t≤1),C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图象上,求矩形
的面积S= f(t)
答案:(1)f(x)=-2(x-1)2+4 (1≤x≤2) (2)S=f(t)=4t(2-t2) (0≤t≤1)
18、讨论关于x的方程 的解的情况.
解答:
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