| 新课标视角下的一堂教学课------求坐标平面内几何图形的面积 |
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作者：佚名 文章来源：不详 点击数： 更新时间：2006-7-6 19:05:16  |
新课标视角下的一堂教学课------求坐标平面内几何图形的面积
宁波邱隘实验中学 潘宏波
在教学浙教版数学八年级上册第六章《图形与坐标》时，看到学生们对求坐标平面内几何图形的面积很感困惑。课余，我就着手为帮助学生突破这一困惑找学生谈话、寻找资料，还开设了一堂专题课。在找学生谈话时，学生普遍反映这个知识点太抽象，思路模糊。新课程把原教材第四册的这部分知识放到现在这个位置，并单独的列为一章，我认为此举很好，因为这样可以让学生在学习函数知识前做一下热身运动。但这部分知识对数形结合的要求十分高：离开数谈形或离开形学数都将严重阻碍这部分内容的学习，所以，对这些让学生困惑的问题，我认为我们大家一起来探讨一下这块知识的新教法是很有必要。下面我就结合我的这堂专题课浅谈几句。
对于求坐标平面内几何图形的面积问题，我告诉学生首先要看清几何图形的形状，再次根据图形与坐标轴之间的位置关系选择计算该图形面积的方法。而图形与坐标轴的之间的关系不外乎以下三种。
Ⅰ、图形中的一条边在坐标轴上：
例1． 如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ），
求△ABC的面积。
解：∵A（ ）点B（ ）点C（ ），
∴AB= ， OC=
∴S△ABC= ×AB×OC= ×7×4 = 14
例2．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（2 , 3），
求△ABC的面积。
解：过点C作CD⊥x轴，交x轴于点D．
∵点A（ ）点B（ ）点C（2 , 3），
∴AB= ， DC=
∴S△ABC= ×AB×DC= ×5×3=12.5
例3．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ），
求四边形OABC的面积。
解：过点Ａ作ＡD⊥x轴，交x轴于点D，过点Ｂ作
ＢＥ⊥x轴，交x轴于点Ｅ．
∵点A（ ）点B（ ）点C（ ），
∴Ｄ（２，０），Ｅ（４，０）
∴ＯＤ＝２，ＤＥ＝２，ＣＥ＝１， AＤ= ， ＢＥ=
∴S四边形ＯABC= S△ＯAＤ＋S梯形ＡBＤＥ ＋S△BCＥ
＝ ×ＯＤ×ＡＤ＋ ×（ＡＤ＋ＢＥ）×ＤＥ＋ ×ＣＥ×ＢＥ
= ×２×4＋ ×（４＋３）×２＋ ×１×３＝４＋７＋１.５
＝１2.5
例4．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ），
点D（ ），Ｅ（ ），求五边形ABCDE的面积。
解：分别过点C、D、E作CG、DF、EH垂直x轴，
垂足分别为点G、F、H ．
∵点A（ ）点B（ ）点C（ ），
点D（ ），Ｅ（ ），
∴点G（3，0）、F（-3，0）、H（-4，0）．
∴CG=2，DF=4，EH=2，BG=1，GF=6，FH=1，AH=2
∴S五边形ABCDE= S梯形CDFG ＋S梯形DEFH - S△BCG-S△AEH
＝ ×（CG＋DF）×FG＋ ×（DF＋EH）×FH － ×CG×BG － ×AH×EH
= ×（2＋4）×6＋ ×（4＋2）×1 － ×2×1 － ×2×2
＝１８+３-１-２
＝１８
求这一类的图形面积是较为简单的。我们可以把坐标轴上的边为底，若图形是三角形只要画出这边对角顶点到该边的垂线段，即这个顶点的横坐标或纵坐标的绝对值就是该边垂线段的长度，然后套用三角形的面积公式，若图形是一般的四边形或其他多边形，则先过不在坐标轴上的其它各顶点分别做该坐标轴的垂线段，这样就可把要求的几何图形分成若干个规则的以坐标轴上的边为底的几何图形，然后把每个几何图形按实际情况进行和、差即可。
Ⅱ、图形中的边没有在坐标轴上的，但有一边是平行于坐标轴的：
例5．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ），
求△ABC的面积。
解：∵点A（ ）点B（ ）点C（ ），
∴AB∥y轴，BC∥x轴，
又由x轴⊥y轴得AB⊥BC且AB=4，BC=5
∴S△ABC= ×AB×BC= ×4×5=1O
例6．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）
点B（ ）点C（ ），求△ABC的面积。
解：∵点A（ ）点B（ ）点C（ ），
∴AB∥y轴，且AB＝５，
过点C作CD⊥AB于点D．且点D（ ）
∴CD＝５
∴S△ABC= ×AB×DC
= ×5×5
=
这一类的情况也不算复杂，比起第一类来，有部分同学往往会因找不到底边而犯困，或者使问题复杂化。我们在教学时可以采用多媒体对图形（1）进行平移变化得图形（2），课堂上这样一展示，因为有了第一类型的铺垫，学生们马上就会找到了底，哦！原来这一类型的几何图形是可以以平行于坐标轴的边为底，另一顶点到这一边的距离为高，这样的教学不是很巧妙吗？它既能使学生理解，还能够在学生的大脑中产生动态效果，这对学生以后的学习也不失为解决问题的财富。
Ⅲ、图形中的边既没有在坐标轴上的，也没有一边是平行于坐标轴的：
例7．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ）。
求△ABC的面积。
解：过点A作DE∥x轴, 过点B作BD∥y轴作BF∥x轴,过点C作FE∥y轴，它们两两相交于点D、B、F、E．
∴四边形BDEF就是长方形．
∵点A（ ）点B（ ）点C（ ）
∴点D（－4，1）、F（2，－3）、E（2，1）．
且BD=4，BF=6，AD=2，AE=4，CF=2，EC=2
而∴S△ABC= S长方形BDEF- S△AＤB- S△BCF- S△ACＥ
∵S长方形BDEF=4×6=24, S△AＤB = ×2×4=4,
∴S△BCF= ×2×6=6,S△ACＥ= ×2×4=4, ∴S△ABC= ２４－４－６－４＝１０
例8．如图，在平面直角坐标系中，点A（ ）点B（ ）点C（ ）,
D（ ）。求四边形ABCD的面积．
解：过点A作EH∥x轴, 过点C作FG∥x轴,
过点B作EF∥y轴,过点D作HG∥y轴．
它们两两相交于点F、E、H、G．
∴四边形EFGH就是长方形．
∵点A（ ）点B（ ）点C（ ）,D（ ）
∴点F（ ）、E（ ）、H（ ）、G（ ）
且EF=6，FG=8，AE=2，AH=6，HD=4，DG=2，CG=5，FC=4，BF=4，BE=2
而∴S四边形ABCD= S长方形EFGH- S△AEB- S△BCF- S△CGD- S△ADH
∴S长方形EFGH=48，S△AEB=2，S△BCF=6，S△CGD=5，S△ADH=12
∴S四边形ABCD=48-2-6-5-12=23
这一类型，在教学中你若采用平移，可能作用也不会很大，当然，等学生以后学了《一次函数》这一章内容以后，还会有其它的解法。于是怎样使学生在以有的认知水平上较为轻松的突破这一困惑，就显得十分有必要。我是这样教学的，分别过每个顶点作坐标轴的平行线，这样这些平行线就围成了一个学生很熟悉的几何图形——长方形，然后先求出这个长方形的面积，再求出原来不属于这个几何图形的若干个三角形的面积，于是要求的几何图形的面积也就自然而然地迎刃而解了。
我用了一堂课的教学教了这一块学生比较困惑的问题，课后，我看到绝大部分的学生脸上眉头都舒展开了。
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