x₁x₂＝　：x_1＋x₂＝

以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数为1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。

如果在求出方程的根后，不是通过精心处理，让学生探索，而是指出：“大家看一看两根的和与积同方程的系数有什么关系？”就是启发过度的一种表现。因为如此一问，学生的主要活动变成了按照教师的要求进行机械验算，其思维的成份、创造发现的成份已所剩无几，更谈不上领悟和做出判断了。

再如前述“拆添项法分解因式”一例，当学生已猜想到x⁴+x²+1可继续分解时，如果教师直接把问题交给学生，让学生探求分解方法，即使点明要拆添项，大部分学生可能还会无从下手。这又是启发不力的一个例子。青浦经验中，为学生搭置一些合适的台阶，让学生循此台阶拾级而上，跳一跳、摘得到，保证学生的思维经历发现的过程，而又不会感到高不可攀。其过程是先引导学生用多项式的乘法计算（x²-x+1）(x²+x+1)来检验猜想。由于计算过程中合并掉的各项明示了分解x⁴+x²+1时应拆或应添的项，检验后学生再自我尝试分解就不是十分困难的了。

总之，搞好启发式教学，就必须把领悟和判断做为启发式的主要特征，把启发原型做为启发的基础，及时创设并抓住启发的时机，准确把握启发的力度，才会启而得“法”、启而得“发”。

教学中，不论是教师讲解、提问、演示、实验、小结、复习、解答疑难、布置练习，都要以各种方式启发学生积极思维，激发学生潜在的学习动机和学习兴趣，使之主动地、充满热情地参与学习活动。

常见的启发式教学手段有：

1、置疑启发

教师矛盾、创设问题情境，采用启发性讲解或提问等方式激发学生思考问题、掌握知识。例如，讲一元二次方程根与系数的关系，教师写出两个方程，要求学生都来解：x²-7x+12＝0，x²+3x-10=0，然后提出问题。

方程的两个根与方程的系数有什么数量关系？指定学生讲述观察结果。如果学生回答不出来，教师可进一步提示：“把上述两个方程的两个根相加，相乘，其结果与方程的系数有什么关系？”紧紧着提出问题：“这两个方程的根与系数有这种关系，是不是所有的一元二次方程都有这种关系呢？板书方程x²+6x+8=0，要求学生都进行演算。发现学生运算有问题，教师可予以提示，然后让学生讲述自己发现的规律。

2、观察启发

教师借助实物、模型、图示等，组织学生观察并思考问题，探求解答。讲抽象的概念的时候，恰当地选择直观性启发手段，对提高教学质量常会起到事半功倍的作用。比如，在讲三角形内角和定理时，教师提问平角的概念，并做演示，把纸板三角板的三个角剪下来拼在一块，刚好构成一个平角，运用实物、模型，启发学生理解定理，这样可收到良好的效果。

在中学数学教学中，列方程（组）解应用题属于难教、难学的课题之一。为了解决难点，便于理解题意，教师　常把一些应用题的语言表述用列表、图示的直观形式表示出来，组织学生观察思考，探求解答，学生较容易理解题意，列出方程（组）也就不困难了。

运用直观因素进行启发式教育，引导学生注意概念的本质属性，以及事物的内部规律，而不要被由直观教具本身的那些非本质、非主要的东西所迷惑，以致影响概念与规律的掌握。

3、对比启发

教师运用对比手法以旧引新，启发学生分清异同，加深理解。在教学过程中，要注意新旧知识的联系，并在适当时候把新旧知识加以归纳综合，有利于学生启发学生的思维，有利于学生对知识的掌握和理解。比如，因式分解课，可与算术中的整数析因数对比来引入。突出新旧概念之间的联系和区别，学生便于接受。对比启发是有条件的，即必须抓住彼此之间确有联系的对象在同一标准下对比。。对比要清楚、显明，特别是注意分析，找出对比对象的本质共性与差异。

4、类比启发

根据可类比的数学材料，启发学生对新知识作出大胆猜想，通过分析、认证加以确认。类比就是类比推理，它是根据两个对象具有某些相同必需品性，推出它们的另一些属性也是相同的结论的一种推理方式，它是一种由特殊到特殊的推理。例如分数和分式，分数是分式的特殊情况，相似之处很多，抓住他们的本质属性进行类比；代数中，由分数的基本性质和四则运算法则，可以类比推出分式的基本性质和四则运算法则。

类比推理的结论是或然的，它不是严格的数学推理方法。但是，类比推理能启发思路、触类旁通，是引出新的猜想、得到新方法的一种重要的推理方法。如：“圆”与“相似形”是平面几何的重要内容之一，也是中学数学教材的难点之一。这两部分教材涉及的知识面广，综合性强，定理结构复杂，轻罪重判　形变化较大，学生掌握这部分知识比较困难。如果教师对这部分知识进行归纳类比，启发学生进行分析总结，不但可以化难为易，而且能够拓宽学生解题思路。

例如：引导学生对射影定理、平行截割比例线段定理、三角形……..等六个定理进行分析比较，总结出这些定理的结构特点，均是以比例式或其变形给出的。这些定理的证明都是通过证明一对相似三角形而得到证明的，这是它们的共性。但是每个定理又有各自的具体特征。如“平行截割定理”和“三角形内（外）角平分线定理”是比例式，“相交弦定理”和“割线定理”是等积式，而“射影定理”和“切割线定理”则是等比中项式。这是它们的个性。在这个基础上进一步启发学生总结出：

（1）遇到“比例式”，联想用“平行切割、角平分线定理”去推证。（2）遇到“等积式”，联想用“相交弦、割线定理”去推证。（3）遇到“等比中项式”，联想用“射影定理、切割线定理”去推证。经过这样的归纳类比，既加深了学生对这些定理的理解，又利于对定理的记忆，同时在证题时有了思考的方向。

5、归纳出发

通过实验、演算、推证等方法对问题进行考察，发现可能的规律，再加以演绎证明，而不是直接给出结论。

初二平面几何的角平分线性质一节，教师先让学生随意画一个角，再作出角平分线，然后要学生用三角板去量角平分线上的点到角两边的距离。学生通过操作得出了“相等”的结论，教师再启发学生明确两点：（1）用尺量不可能量出角平分线上所有的点到角的两边的距离。（2）靠尺子量的方法不够精确，因此，只能把这个结论作为一种猜想，还必须进行严格证明，进而引导学生通过三角形全等来结证明这个结论的正确性。这样去引导学生自己动手，猜想、发现，学生的兴趣大，学得积极主动，印象深刻。

6、自学启发

在教师指导下，学生带着问题有目的地阅读课本，开展讨论，深化认识，掌握知识。

例如：讲平面直角坐标系一节，教师出示问题：（1）直线上的点与实数有什么关系？平面上的点与什么样的数有这种关系？还能举出具有这种关系的两个集合吗？（2）直角坐标系数是怎样建立的？它的三个要素各起什么作用？（3）怎样找出坐标平面上的一个点的坐标？（4）给一个实数时，怎样在坐标平面上表示实数对的点找出来？（5）各个象限的点的坐标有什么特点？（5）坐标轴上的点的坐标有什么特点？让学生带着这些问题去阅读教材，并且展开讨论。当学生把这六个问题搞清楚了，教材内容也就掌握了。

总之，启发的方法是多种多样的，教师应针对学生的实际和教材知识的特点，采用不同的方法，提高教学质量。

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