什么是启发式教学呢？启发式教学就是在教师的诱导、点拨下，使学生积极思考并自己先做出判断的教学方式。也可以说是在教师主导作用下，编制了一定认知程序的发现法，是启发性原则在教学中的具体实施。启发式教学中，教师的作用是外因、是催化剂，其落脚点是诱使学生积极思考，并通过独立尝试建立新旧知识的联系，作出猜想或判断。评判一种教学是不是启发式教学，不是看其外在形式是否热闹，也不是看学生动手时间的长短，关键是看学生的心智活动是不是达到了领悟的水平，是不是经过自己的尝试作出猜想或判断。

现行教学中不少教师对启发式教学存在几个思维误欧：

   一种是“以练代启”。认为启发式教学既然与注入式教学相对，就应该增加学生的活动量，即“精讲多练”。多练不一定是坏事，但如果仅停留在模仿阶段（解题术的套用）而大量做一些重复性练习，学生的思维没有经历领悟的过程，就不能说是启发式教学；

    另一种是“以活代启”。这里的“活”不是思维上的活，而是追求教学形式的活跃、热烈，认为教学气氛不热烈就不是启发。常见的有：教师用简单的“对不对？”“是不是？”等问题，换回学生震天价响的“对”、“不对”、“是”、“不是”。或是哗众取宠，通过一些偏离主题的动作、语言引得学生哄堂大笑等；

   还有一种是“以已代生”。教师虽注意分析，分析起来也有条有理、思路清晰，却是“事后诸葛”，往往是教师多次探索后保留的最佳通路，而“最佳”的寻求过程，特别是克服障碍的过程并未表现出来，结果是学生听起来津津有味，做起来却一筹莫展。这些都是没有抓住启发的实质，形而上学地简单套用的结果。

   那么，如何搞好启发式教学呢？宁夏中卫教研室王力争老师研究提出，应抓住三个方面的问题，即：启发的原型、启发的时机、启发的力度。

1、启发的原型

所谓启发原型，就是学生现有认知结构中待学知识的生长点。我们知道，数学学习过程是以学生原有认知结构为基础，通过内化、领悟，把新知识纳入到已有认知结构中去的过程。在这一过程中，教师的作用就是调动学生的知识储备，使新的教学知识与原有认知结构中的相应材料建立起实质性的联系。因此，教学中必须分清哪些是学生认知结构中得以同化新知识的相关材料（即启发原型），并在此基础上设计好教学。

比如概念教学中，由于数学概念往往是由一些实际事例和具体的数学教材抽象概括而成的，教学中要想让学生经历概念的发生、发展过程，就必须从这些学生已知的实际事例和具体的数学材料入手，去其表象、存其精髓，逐步形成概念。如平行线的概念，可先例举学生已有感性认识的日常生活中诸多不相交线的实例，找出它们的共性，使学生形成初步映象后，再抽象成两条直线，由相交时逐渐移动一直线变成不相交，从而概括出平行线的概念。

再如解题教学中，由于其关键是解（证）题思路的探寻过程，而思路的寻求过程经常表现为：“从已知、结论或是图形方面看，过去有没有做命题？”等。这里的“类似的题目”、“更容易、更直观的命题”就是此时的启发原型，教师要善于把待解（证）之题与这些启发原型沟通起来。这样，解题思路在学生头脑中就会经历了一个由模糊到清楚、由分散到聚合的过程，思路的获得也就水到渠成了。

如在证明三角形全等的边边边定理时（义教教材已改为公理），教材中的证法是：如图所示，把△ABC拼在△AˊBˊCˊ上，使最长的边BC和BˊCˊ重合，并且使点A和Aˊ在BˊCˊ边的两旁，连结AˊA，……（下略）

如果教师如上机械讲解，学生会问：“为什么要拼在一起，为什么连结AˊA？教师是怎样想到的？”这些正是学生的困惑所在，如果不能很好地解决这个问题，学生充其量只学会了本题的具体解法，而不会举一反三，同时教师也失去了一次训练思维、培养能力的好机会。而教学中若能充分调动学生的知识储备，通过两次原型启发，效果就会截然不同，其过程如下：

（1）第一次抽取原型

教师：过去学过如此证明三角形全等的方法，它们与本题的已知条件有何不同？

学生：学过边角边、角边角、角角边等。它们的条件中均有一个或二个角相等，而本题条件是三边对应相等。……噢！应先证角相等。（通过原型启发。把思路定向为“证角相等”，学生的思维产生了第一次飞跃。）

（2）第二次抽取原型

教师：如何证角相等呢？过去学过什么方法？

学生：利用平行线；利用全等三角形；利用等腰三角形。

教师：本题应该用哪种方法呢？

（学生思考后，容易排除平行线法。经过教师点拨，亦可排除全等三角形法，最终将思路集中在“利用等腰三角形”上。）

教师：图形中并没有等腰三角形，怎么办呢？……，要找等腰三角形，应应有从同一顶点出发的两条相等的线段（腰），而本题条件中相等线段却分散在两个三角形中，……。

（至此，部分学生已经能够想到将两个三角形拼在一起，教师只要通过指导，使其思路更加完善即可，，达到这样的效果，应该说启发是成功的；如果此时学生还不能自己得出“拼图”的思路，而是由教师自己给出拼法，也应该说达到了启发的目的。因为经过这样的安排，学生的思维经历了领悟的过程，他们不仅学会了如何“拼”，而且知道了为什么要“拼”，做到了知其法、明其理，这也正是启发式的目的之所在。）

2、启发的时机

关于启发的时机，孔子早就说过：“不愤不启，不排不发”。意思是说，只有在学生思考不出而产生烦闷心情时，在学生想说又说不出来时，教师才予以启发。具体到数学教学中，就是要做到以下两点：

一是要把握时机。如上例证明边边边定理时，先让学生自己思考，当学生虽明白题意而又不知如何下手时，抽取第一个启发原型，从而把思路定向为“证角相等”；当学生在分析中不知用何法证角相等，出现第二次思维困惑时，再次抽取启发原型。将思路定向为“利用等腰三角形”；当学生不知如何构造等腰三角形，出现等三次思维障碍时，教师又通过等腰三角形的特点，及时诱导、点拨，将学生的思路引到“拼在一块”上来，收到了良好的效果。

二是要创造时机。教师根据教材特点、学生水平，在启发原型的基础上，及时创设愤悱情境，营造良好的启发态势，使学生在似知非知、欲懂非懂的情境中，积极热情地投入到尝试活动中去。

如青浦经验中的一个典型案例：在讲授“拆添项法分解因式”时，先出示一题x⁶-1,学生根据已学知识得到两种结果

x⁶-1＝（x³）²-1

   =(x-1)(x+1)

   =(x²-x+1)(x²+x+1)

x⁶-1=(x³)²-1

   =(x-1)(x+1)(x⁴+x²+)

教师有意安排两名不同解法的学生板演，并引导学生分析：两名同学公式的运用都准确无误，怎么会出现不同的结果呢？

由于学生都亲自解答过，此时问题一提出，学生的思维焦点立刻集中在“为什么？”“问题出在哪里？”这样的问题上，使学生产生了欲罢不能的愤悱心情，为下面的教学创造了良好的启发契机。

3、启发的力度

关于启发的力度，古人也早论述：“道而弗牵，强而弗抑，开而弗达”、“示之始而正之于终”，意思就是：给学生指出思考的方向但不要牵着学生的鼻子走；严格要求但不要施加压力；提醒学生但不能直接告诉答案，教学的一开始，教师诱导、提示，学生尝试并得到一些结果时，教师再予以指正。

如在讲一元二次方程根与系数的关系时，采取下面的步骤：

出示两组方程，要求学生计算出各方程的根，教师板书成如下形式：

第一组方程　     　　　　x₁         x₂

x²-2x-3=0                -1          3

x²+2x-3=0                   1           -3

x²+5x+6=0                -2          -3

x²+5x-6=0                1           -6

第二组方程　　　　　　　x₁           x₂

2 x²-x-1=0                1           -1/2

2 x²+x-1=0                -1          1/2

-2 x²+5x-3=0               1            3/2

-2 x²+5x+3=0               3            -1/2

（2）教师提出问题：观察第一组方程（二次项系数为1的），它们的根与一次项系数，常数项之间有什么共同规律？

（3）学生思考、尝试、讨论，归纳出：两根之积等于常数项，两根之和与一次项系数互为相反数。

（4）出示方程：x²+b′x+c′=0,学生用式子表示为：x₁x₂=c′x₁₊x₂=-b′.

（5）观察第二组方程（二次项系数不为1的），提出问题：能否得出相似的结论？

（6）归纳出：对一般的方程ax2+bx+c=0(a≠0),有：

以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数的1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观察的形式等，是在启发原型的基础上，从学生的认知水平出发，进行了教学法上的处理。

x₁x₂＝　：x_1＋x₂＝

以上过程中，一元二次方程的解法及相关概念就是此时的启发原型。而把它们分成二次项系数为1和不为1两组，且相邻方程的一次项系数（或常数项）有意安排成相等或互为相反数，以及把两根及方程板书成易于观

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