教学目标

1．通过对|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式的教学，学生不仅要掌握其解法，更要抓住其化归转化的基本思想及解题过程中的等价关系．注重对学生思维能力的培养，提高解题能力．

2．教学中加强学生对|x-a|＜b，|x-a|＞b（b＞0）型不等式直观意义的理解，培养学生数形结合的能力．

教学重点与难点

教学重点是|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式的解法和对其解集的直观意义的理解．难点是求解过程中的等价关系．

教学过程设计

一、复习提问及揭示课题

师：在初中，我们学过一元一次不等式及一元一次不等式组．下面请同学们解不等式

并注明每步的依据．（要求学生写在课堂练习本上．）

师：通过此题的求解，请说出解不等式的主要依据及依据的内容．

生：主要依据是不等式的基本性质，它的内容是：（1）不等式两边都加上同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；（2）不等式两边都乘以同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边都乘以同一个负数，不等号的方向改变．

师：在初中，我们还学过实数的绝对值，那么|a|的意义是什么？

（学生口述，老师在黑板上给出符号表示，即

同时要求学生说出其几何意义，即|a|表示数a在数轴上对应的点到原点的距离．）

师：请同学回答下列问题：（出示小黑板，由学生口述，教师板书．）

（1）当x______时，|2x-3|=2x-3；

（2）若|2x-3|=3-2x，则x______；

（3）若|2x-3|=1，则x=______，并说明其几何意义．

（在说明|2x-3|=1的几何意义时，教师可先引导学生画数轴，标出

式，结合数轴（图1）说明|2x-3|=1的几何意义是：数轴上表示数x的

师：我们若将|2x-3|=1中的“=”号改为“＜”域“＞”号，则这时x又将为何值呢？|2x-3|＜1或|2x-3|＞1的几何意义又是什么呢？这就是我们今天要学习的内容．

（板书课题：|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式）

三、讲述新课

1．|x|＜a，|x|＞a（a＞0）型不等式．

师：为了寻找|ax+b|＜c，|ax+b|＞c型不等式的解法，我们先从寻找最简单的不等式|x|＜a，|x|＞a的解法入手．看下面具体例题．（板书）

例  解不等式|x|＜2．

师：请谈你的想法．

生：我考虑要先去掉绝对值符号．

师：怎样去掉绝对值符号，绝对值符号去掉后，不等式 |x|＜2将转化成怎样的不等式？请同学自己动笔试着写写．

（教师巡视，主要看第一步的逻辑表述是否等价（同解），这是一个难点，应使学生特别注意这一点．可分别将学生中书写正确的，或带有问题的做实物投影，给出分析指导．）

等式（1）的解，或为不等式组（2）的解．

因为，满足不等式组（1），即满足0≤x＜2的任意x的值，都是原不等式|x|＜2的解；满足不等式组（2），即满足-2＜x＜0的任意x的值，也都是原不等式|x|＜2的解，所以|x|＜2的解集等于不等式0≤x＜2与不等式-2＜x＜0的解集的并，即|x|＜2的解集为

{x|0≤x＜2}∪{x|-2＜x＜0}={x|-2＜x＜2}．

（板书）

所以，原不等式的解集为{x|-2＜x＜2}．

概念．

（如果两个不等式的解集相等，那么这两个不等式叫做同解不等式．一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同解不等

变形．）

师：请同学将|x|＜2的解集在数轴上表示出，并试着解释其几何意义．

生：|x|＜2的几何意义为表示数x的点到原点的距离小于2，从数轴（图2）可看出，表示|x|＜2的解集的线段（端点除外），就是数轴上到原点的距离小于2的所有点的集合．

师：若上述解不等式|x|＜2，改为解不等式|x|＞2，你能很快求出解集，并在数轴上表示出来吗？

（学生基本都能得到正确答案，教师可根据学生实际情况略做说明，或选学生所做的情况进行一下实物投影．）

师：通过解不等式|x|＜2，|x|＞2，你能总结归纳出规律吗？请同学完成下列表格：

（做成投影幻灯片，或抄写在小黑板上，让学生完成在笔记本上．）

不等式

解集

数轴表示

|x|≤5

|x|＜a（a＞0）

|x|＞a（a＞0）

2．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式

师：现在我们来解不等式|2x-3|＜1．请问哪位同学有解决的办法？

-a＜x＜a，即可解决．

（分别由这两位学生板演，要求写出每步依据．）

解法1  |2x-3|＜1

所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

解法2  |2x-3|＜1

所以，原不等式的解集为{x|1＜x＜2}．

师：请同学们把解集在数轴上表示出来（图4）．

对照此图，说说|2x-3|＜1的解集的几何意义．

生：|2x-3|＜1的解集的几何意义是：|2x-3|＜1的解集在数轴上对应

合，即从P（1）点到P（2）点的线段上所有的点（端点除外）．

师：若将解不等式|2x-3|＜1改为解不等式|2x-3|≥1呢？请同学们自己写在笔记本上．

师：现在我们一起回顾一下解不等式|2x-3|＜1的思路．

第一种，将2x-3看成整体，化归转化成|x|＜a或|x|＞a的形式；

第二种，利用绝对值的定义，去掉绝对值符号，转化成一元一次不等式或一元一次不等式组．

第三种，利用两数差的绝对值的几何意义，借助数轴的直观，得到不等式的解集．但此种方法不适用于解答题，是解答选择填空题的捷径．

师：上述三种思路方法，对一般的|ax+b|＜c，|ax+b|＞c（c＞0）型不等式适用吗？若适用，试写出每种方法的第一步．

（可将下列解法1，解法2，解法3写在投影幻灯片上，待学生写一会儿后打出投影，再做进一步强调和说明．）

解法3  先将不等式变形为：

再画数轴用直观表示的方法解之．

师：解法1主要体现化归转化的思想，解题较简捷；解法2体现了解绝对值不等式的一般思路方法，具有指导性；解法3应用的是两数差的绝对值的几何意义，但要注意找好中心点和距离．下面我们举几个例题．

例1  解不等式|2-3x|＞7．

（学生口述．老师板书．）

解  |2-3x|＞7

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