背景介绍

　　前面结合实际问题，讨论了方程组的概念、解法、应用之后，这里提供更具现实、综合的问题，让学生展开探究学习。

　　情境描述

　　问题：养牛场原有30只母牛和15只小牛，一天约需用饲料675kg；一周后又购进12只母牛和5只小牛，这时一天约需用饲料940kg。饲养员李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg，每只小牛1天约需用饲料7～8kg。你能否通过计算检验他的估计？

　　（现实的、富有挑战性的问题激发了学生的探究的兴趣）经过一番独立思考后，2名学生举手发表了两种不同的解题方案：

　　方案一、先假设李大叔的估计正确，再根据问题中给定的数量关系来检验。

　　方案二、根据问题中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量，再来判断李大叔的估计是否正确。

　　各方的支持者旗鼓相当、立场坚定（这又为学生的探究活动营造了竞争的氛围）。教师肯定了学生的方案后，要求“用数据说话”，引导他们深入探究，同时列出下表辅导分析。

母牛数（只）

小牛数（只）

饲料量（kg/天）

一周前

30

15

675

一周后

42

20

940

　　（李大叔估计平均每只母牛1天约需用饲料18～20kg，每只小牛1天约需用饲料7～8kg）

　　学生分组合作探究，几分钟后教师发现在讨论方案一的小组中又出现不同的意见：一种意见是：先假设李大叔对平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量的估计正确，再根据母牛数和小牛数来计算总饲料量是否足够；另一种意见是：先假设李大叔对平均每只母牛（或每只小牛）1天所需用饲料量的估计正确，再根据题意计算平均每只小牛（或每只母牛）1天所需用饲料量的估计是否正确。（这是合作探究过程中出现的意见分歧）教师暗喜，建议再分组各自继续探索。这时，讨论方案二的小组已达成共识：用方程组来求解。

　　又过了十多分钟，小组汇报开始了，学生个个信心十足，情绪高涨。

　　小组1：假设李大叔对平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量的估计都正确，我们小组按母牛数、小牛数通过计算一周前需用的饲料总量为645～720kg，一周后需用的饲料总量为896～1000kg，这与题中的条件基本相符，李大叔估计正确。

　　小组2：假设李大叔对平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料量的估计都正确，我们小组按一周前的饲料总量675kg及母牛30只，通过计算发现小牛数为9～11只或17～19只，这与题中的小牛15只不相符，李大叔估计不正确。

　　小组3：假设李大叔对平均每只母牛1天约需用饲料量的估计正确，我们小组通过计算一周前每只小牛1天需用饲料量为5～9kg，一周后每只小牛1天需用饲料量为5～9．2kg，这与题中的条件大致相符，李大叔估计基本正确。

　　小组4：我们小组通过设平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料x kg和y kg。

　　找出相等关系列方程组

　　解这个方程组，得。

　　这就是说，平均每只母牛和每只小牛1天各约需用饲料20kg和5kg。饲养员李大叔对母牛的食量估计正确，对小牛的食量估计不正确。

　　……

　　这时，小组汇报还在继续，而学生对不同解题策略的认识在比较后会更深入，对方程组是刻画和解决现实世界中含有多个未知数的问题的数学模型的体验会更深刻。

　　分析与讨论

　　现实的、富有挑战性的、需多角度认识和多策略分析的“牛饲料问题”为学生开展探究活动提供了机会，学生在自主探究、合作探究、比较探究的过程中加深了对数学分析法与综合法的认识，对方程组作为数学工具加深了理解，增强了对学习伙伴的了解，提高了学好数学、用好数学的信心。

　　但探究题的设置对教师带来了许多挑战，如：学生思维的启发，时间的调控，小组成员的搭配，课堂即时评价等都需要在实践中不断总结、提高。

　　点评

　　①本案例在运用数学解决实际问题和数学的教育价值方面做了有益的实践和探索，确实令人很受启发。现实中存在大量问题涉及多个未知数，其中许多问题中的数量关系是一次（也称线性）的，这为学习“二元一次方程组”提供了大量的现实素材。引导学生从身边的问题研究起，主动收集寻找“现实的、有意义的、富有挑战性的”问题作为学习材料，并更多地进行数学活动和互相交流，在主动学习、探究学习的过程中获得知识，培养能力，这正是新课标所倡导的。案例通过对“牛饲料问题”展开比较探究，进一步加强对方程组是解决现实问题的一种重要数学模型和重要数学工具的认识，体验方程组来自实际又服务于实际。

　　②在教学过程中，当学生在探究过程中取得初步成果时，教师及时鼓励，使探究得以深入；但学生遇到困难时，教师启发诱导，设计必要的铺垫，让学生经过自己的努力来克服困难，而不是替代他们思考，不直接给出答案。同时鼓励他们对多种不同的分析问题和解决问题的方法进行比较，使探究过程活跃起来，在这样的氛围中可以更好地激发学生积极思维，从而收获更多。这些都充分体现了教师的角色的转变，我们提倡：在教学活动中，教师更多的是教学活动的设计者、参与者和引导者。

　　③案例中没有能对学生在小组合作中的具体表现作出详细的描述，小组合作的效果是否确实如汇报的那么理想，每个学生是否都积极参与和经历了认真的思考，合作学习中有没有其他的问题出现？我们应该怎样去应对和改正呢？老师应该怎样去参与呢？等等的问题没有涉及，这是本案例的不足。

本案例选自延边教育出版社《课堂教学设计与案例》新课标教案数学七年级下册，如欲购买此书，请按以下方式联系：

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